CONCEPTO DE LÍMITE/DEFINICIÓN NÚMERO E

LÍMITE:

En las matemáticas el concepto de límite se refiere a la magnitud fija en que los términos de una secuencia se aproximan entre sí. Es utilizado en el análisis real y complejo. Es representado con 

Lim = Límite

n = ∞

EJEMPLOS: Para realizarlo hacemos la división entre los números que acompañan a n. Menos si arriba es inferior que nos da infinito.

Número e:

La constante e es uno de los números irracionales y los números trascendentes más importantes. Es aproximadamente 2,71828 y aparece en diversas ramas de las matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas. Se le puede llamar número de Euler o constante de Napier, y fue introducido por el concepto de logaritmo.

MEDICIÓN DEL RADIO DE LA TIERRA POR ERATÓSTENES

Eratóstenes fue una matemático, astrónomo y geógrafo. Trabajó con problemas de matemáticas, como la duplicación del cubo o los números primos. Pero una de sus principales contribuciones fue su trabajo sobre la medición de la Tierra. Estando en la Biblioteca de Alejandría, encontró un informe de observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km. al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos (como por ejemplo, los obeliscos) no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Esto se debe a que está ciudad está sobre la línea del trópico (en realidad, 33' al norte del Trópico de Cáncer). En base a esto observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se producía este mismo hecho. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma (prácticamente) paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban los rayos del sol con la vertical que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra (ver gráfico superior). Este ángulo resulto ser de 7º 12' ( = 7'2º) que unido al hecho conocido de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión que la circunferencia de la Tierra medía 360·5000/7'2; es decir, 250.000 estadios. Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160m (actualmente se suele tomar 158m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente 250.000*160/1000 = 40.000 Km. Esto equivale a un radio de 6.366 Km. o 6.286 si tomamos los 158m, contra los 6.371 Km. que son los admitidos hoy en día. Todo esto conlleva un gran merito ya que las únicas herramientas de Eratóstenes fueron palos, ojos, pies y cerebro, y además el gusto por la experimentación. Con estos elementos dedujo la circunferencia de la Tierra con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que tuvo lugar.

Explicación gráfica del experimento

Mapa donde se aprecia la diferencia entre Alejandría  y Siena, ciudades utilizadas para el experimento

TIPOS DE RECTAS

Podemos encontrar tres tipos de rectas:

PARALELAS:

Tiene pendiente 

 

  2x        -y   =      1

  4x        -2y =      3

doble   doble  diferente

INCOMPATIBLE = NO TIENE SOLUCIÓN

SECANTE:

No tiene pendiente

   x    +    y   =      2

   x    -     y   =      4

contradicción

COMPATIBLE DETERMINADO = UNA SOLA SOLUCIÓN

PASA POR EL MISMO PUNTO:

   x    +    2y   =      4

 2x    -     4y   =      8

   todo compatible

COMPATIBLE INDETERMINADO = SOLUCIONES INFINITAS

DISCRIMINANTE

El discriminante sirve para saber el número de soluciones que una ecuación puede albergar. En una ecuación de segundo grado realizada con formula el discriminante seria la parte situada en la raíz cuadrada, por lo tanto b(2)-4ac. Y distinguimos tres tipos:

Si el discriminante es mayor que cero, dos soluciones con dos números reales distintos.

Si el discriminante es igual que cero, tiene una solución doble.

Si el discriminante es menor que cero, no tiene soluciones.

RESOLUCIÓN GRÁFICA DE INECUACIONES

Una inecuación puede ser mayor o igual que 0 (≥), menor o igual que 0 (≤), mayor que 0 (>), o menor que 0 (<), y para realizarla gráficamente debemos usar al igual que para las ecuaciones geobebra. Colocamos la ecuación en geogebra y dejamos que se cree la grafica, con la diferencia que ahora nos tenemos que fijar en las ondas que esta hace, y por donde esta encima de la línea x y por debajo para determinar si es menor o mayor.

EJEMPLO:

RAICES: -3 Y -2

SI >0 el resultado seria xE (-∞, -3) u (-2, ∞)

RESOLUCIÓN GRAFICA DE ECUACIONES

Para resolver gráficamente una ecuación lo que vamos a a hacer es colocar la ecuación dentro de Geogebra, la cual va a ser nuestra herramienta principal y la podéis encontrar dentro de las pestañas del blog apartado de enlaces frecuentes. Una vez colocado apreciaremos una parábola formada dentro de nuestra grafica, nuestras soluciones serán los puntos donde estas parábolas tocan con la linea de x.

Cosas a tener en cuenta:

- Si no corta en ningún punto significa que no tiene soluciones.

- Si rebota significa que esa solución es doble. 

EJEMPLOS:

Soluciones: -6 , -4 

Lo que significa (X+4)(X+6)

No tiene solución

Tiene un punto de rebote

Soluciones: -2 (dos veces)

(X+2)(X+2)

ECUACIONES Y CRITERIOS DE EQUIVALENCIA

¿QUÉ ES?

Una ecuación es una igualdad matemática entres dos expresiones, las cuales separamos con el signo igual (=), nos aparecen elementos los cuales conocemos y datos desconocidos a los cuales llamamos incógnitas las cuales tenemos que conseguir conocer (despejar la incógnita). Hay diferentes tipos y grados dependiendo de la ecuación.

Sabemos que es una ecuación de primer grado porque todos los números están elevados a uno.

Sabemos que es de segundo grado porque uno de los números esta elevado al cuadrado.

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA:

1) Si sumamos o restamos la misma cantidad numérica algebraica en ambos términos de una ecuación, la ecuación que se obtiene es equivalente a la anterior. 

Ej: -5+2x+5=x-5

      -x+2x=x-5-x

             x=-5

2) Si multiplicamos o dividimos por un mismo número en ambos lados de una ecuación, la ecuación que se obtiene es equivalente a la anterior.

Ej:   3x        2

     ------ =  -----  

        3         3

       

       2

x= -----

       3

 

INCIDENCIA ACUMULADA

 Gráfico de incidencia acumulada en cada 14 días en España : Casos de Coronavirus por cada 100.000 habitantes.

RAÍZ DE UN POLINOMIO

Las raíces de un polinomio nos van a permitir descomponer los polinomios en factores, lo que nos permitirá a su vez realizar la división de polinomio de manera más fácil. Los llamados ceros del polinomio.

PROPIEDADES:

1.  Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores de un término independiente del polinomio.

2.  A cada raíz del tipo x=a, le corresponden el binomio del tipo (x-a).

3. Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x-a), a que se correspondan a las raíces, x=a, que se obtengan.

4. La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del binomio del polinomio.

5. Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x=0, o lo que es lo mismo, admite como factor x.

6. Un polinomio se llama irreducible (primo) cuando no pueden descomponerse en factores.

LOGARITMOS PARA CALCULOS

Los logaritmos nos pueden ser muy útiles para diferentes tipos del cálculos como la intensidad de un sonido o de un terremoto o para medir el pH que contiene una sustancia. A continuación os voy a poner un ejemplo sobre como calcular los decibelios:

Debemos tener en cuenta la formula de los db que es:

Teniendo en cuenta esta formula lo único que tenemos que hacer es sustituir el termino P por la potencia de decibelios que tenemos y terminar el calculo. 

Poniendo el caso que P es igual a 10 elevado a -4 calculamos la diferencia que hay entre el -4 y el -12 la cual es de -8 y como 10 log nos da igual a 80 db.

PROPIEDADES DE LOGARITMOS

 1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

5. Cambio de base:

LOGARITMO DE UN NÚMERO

El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número.

ALAN TURING

El matemático que da nombre a mi blog es Alan Turing, matemático el cual conocí por la película de "el código Enigma". El fue uno de los inventores de la ciencia de la computación y precursor de la informática moderna. También proporciono una influyente formalización de los conceptos del algoritmo y computación: La maquina de Turing.  Y es conocido por ayudar a descifrar los códigos de los nazis durante la segunda guerra mundial.

  

NÚMEROS IRRACIONALES

Hoy hemos estado aprendiendo sobre como representar números irracionales y para eso hemos utilizado Geogebra, os voy a mostrar unos ejemplos:

RAIZ CUADRADA DE 2

RAIZ CUADRADA DE 3

RAIZ CUADRADA DE 8

EXPECTATIVAS Y COMPROMISOS

Para este curso tengo las expectativas muy altas ya que el curso pasado no pude dar o no quise dar todo lo que podía de mi, este curso busco aprender muchas más cosas, sacar mejores notas, hacer todos los ejercicios. Me comprometo a dar todo de mi, a participar en clase siempre que pueda, y a ayudar a mis compañeros cuando tengan dudas y yo se las pueda resolver.

¿ES 0 UN NÚMERO NATURAL?